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高考总复习二 数列的应用

发布人:admin | 来自:思而学教育网 |  发布时间:2011-10-10 23:07:41  |  点击次数:2503
知识网络:
           
目标认知
考试大纲要求:
  1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用;
  2.掌握常见的求数列通项的一般方法;
  3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质,并能解决简单的实际问题.
  4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

重点:
  1.掌握常见的求数列通项的一般方法;
  3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

难点:
  用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

知识要点梳理
知识点一:通项与前n项和的关系
  任意数列的前n项和
  
  注意:由前n项和求数列通项时,要分三步进行:
  (1)求
  (2)求出当n≥2时的
  (3)如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形式,否则就只能写成分段的形式.

知识点二:常见的由递推关系求数列通项的方法
1.迭加累加法:
  
  则,…,
   

2.迭乘累乘法:
  
  则,…,
  

知识点三:数列应用问题
  1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.
  2.建立数学模型的一般方法步骤.
  ①认真审题,准确理解题意,达到如下要求:
  ⑴明确问题属于哪类应用问题;
  ⑵弄清题目中的主要已知事项;
  ⑶明确所求的结论是什么.
  ②抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.
  ③将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系、方程、不等式).

规律方法指导
  1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想;
  2.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
  3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意:
  (1)通过知识间的相互转化,更好地掌握数学中的转化思想;
  (2)通过解数列与其他知识的综合问题,培养分析问题和解决问题的综合能力.
经典例题精析
类型一:迭加法求数列通项公式

  1.在数列中,,求.
  解析:
     当时,
     
     
     
     
     
     将上面个式子相加得到:
     
     ∴),
     当时,符合上式
     故.
  总结升华:
  1. 在数列中,,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等差数列.
  2.当数列的递推公式是形如的解析式,而的和是可求的,则可用多式累(迭)加法得.
  举一反三:
  【变式1】已知数列,求.

  【答案】

  【变式2】数列,求通项公式.

  【答案】.

类型二:迭乘法求数列通项公式
  2.设是首项为1的正项数列,且,求它的通项公式.

  解析:由题意
     ∴
     ∵,∴
     ∴ 
     ∴,又
     ∴当时,
     当时,符合上式
     ∴.
  总结升华:
  1. 在数列中,,若为常数且,则数列是等比数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等比数列.
  2.若数列有形如的解析关系,而的积是可求的,则可用多式累(迭)乘法求得.
  举一反三:
  【变式1】在数列中,,求.

  【答案】

  【变式2】已知数列中,,求通项公式.

  【答案】,∴
       ∴
       ∴当时,
       
       
      当时,符合上式
      ∴

类型三:倒数法求通项公式
  3.数列中,,,求.

  思路点拨:两边同除以即可.
  解析:,∴两边同除以
     ∴成等差数列,公差为d=5,首项
     ∴
     ∴.
  总结升华:
  1.两边同时除以可使等式左边出现关于的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项.
  2.若数列有形如的关系,则可在等式两边同乘以,先求出,再求得.
  举一反三:
  【变式1】数列中,,求.

  【答案】

  【变式2】数列中,,,求.

  【答案】.

类型四:待定系数法求通项公式
  4.已知数列中,,求.

  法一:,解得
     即原式化为
     设,则数列为等比数列,且
     ∴
  法二:  ①
       ②
     由①-②得:
     设,则数列为等比数列
     ∴
     ∴
     ∴
  法三:,……,
     
     ∴
  总结升华:
  1.一般地,对已知数列的项满足为常数,),则可设,利用已知得,从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差,构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.
  2.若数列有形如(k、b为常数)的线性递推关系,则可用待定系数法求得.
  举一反三:
  【变式1】已知数列,求

  【答案】,则
      ∴,即
      ∴
      ∴为等比数列,且首项为,公比
      ∴
      故.

  【变式2】已知数列满足,而且,求这个数列的通项公式.

  【答案】,∴
      设,则,即
      ∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,
      ∴,∴.
       ∴.

类型五:的递推关系的应用
  5.已知数列中,是它的前n项和,并且, .
  (1)设,求证:数列是等比数列;
  (2)设,求证:数列是等差数列;
  (3)求数列的通项公式及前n项和.

  解析:
  (1)因为,所以
     以上两式等号两边分别相减,得
      
     即,变形得
     因为 ,所以
     由此可知,数列是公比为2的等比数列.
     由,,
     所以, 所以,
     所以.
  (2) ,所以  
     将 代入得
     由此可知,数列是公差为的等差数列,它的首项
     故.
  (3),所以  
     当n≥2时,
     ∴
     由于也适合此公式,
     故所求的前n项和公式是.
  总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条件,通过合理转换,将非等差、等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差(比)数列的概念,将已知关系式进行变形,变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数列问题中的常见策略.
  举一反三:
  【变式1】设数列首项为1,前n项和满足.
  (1)求证:数列是等比数列;
  (2)设数列的公比为,作数列,使,求的通项公式.
  【答案】
  (1)
     ∴
     ∴
     又
     ①-②
     ∴
     ∴是一个首项为1公比为的等比数列;
  (2)
     ∴
     ∴是一个首项为1公比为的等差比数列
     ∴

  【变式2】若,  (),求.

  【答案】当n≥2时,将代入,
       ∴,
       整理得
       两边同除以(常数)
       ∴是以为首项,公差d=2的等差数列,
       ∴ ,   
       ∴.

  【变式3】等差数列中,前n项和,若.求数列的前n项和.

  【答案】为等差数列,公差设为,
       ∴,
       ∴,   
       ∴,
       若,则,  ∴.
       ∵, 
       ∴,∴ ,
       ∴,
       ∴  ①
               ②
       ①-②得
              
       ∴

类型六:数列的应用题
  6.在一直线上共插13面小旗,相邻两面间距离为10m,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?

  思路点拨: 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.
  解析:设将旗集中到第x面小旗处,则
      从第一面旗到第面旗处,共走路程为了
      回到第二面处再到第面处是
      回到第三面处再到第面处是
      
      从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为
      从第面处到第面处取旗再回到第面处,路程为20×2,
      
      总的路程为:
     
      ∵,∴时,有最小值
      答:将旗集中到第7面小旗处,所走路程最短.
  总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前项和公式,在求和后,利用二次函数求最短路程.
  举一反三:
  【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍,则该企业2007年年度产值的月平均增长率为(    )
  A.   B.   C.    D.

  【答案】D;
  解析:从2月份到12月份共有11个月份比基数(1月份)有产值增长,设为
      则

  【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币,年利率为,到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税(税率为)共计元,则该人存款的本金为(   )
  A.1.5万元   B.2万元  C.3万元   D.2.5万元

  【答案】B;
  解析:本金利息/利率,利息利息税/税率
     利息(元),
     本金(元)

  【变式3】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量(万件)近似地满足.按比例预测,在本年度内,需求量超过万件的月份是( )
  A.5月、6月    B.6月、7月   C.7月、8月    D.9月、10月

  【答案】C;
  解析:个月份的需求量超过万件,则
     
     解不等式,得,即.

  【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元,汽车的维修费平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数列递增,问这种汽车使用多少年后报废最合算?(即年平均费用最少)

  【答案】设汽车使用年限为年,为使用该汽车平均费用.
       
       当且仅当,即(年)时等到号成立.
       因此该汽车使用10年报废最合算.

  【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米,计划从2007年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
  (1)分别求2007年底和2008年底的住房面积;
  (2)求2026年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)

  【答案】
  (1)2007年底的住房面积为1200(1+5%)-20=1240(万平方米),
     2008年底的住房面积为1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),
     ∴2007年底的住房面积为1240万平方米;
     2008年底的住房面积为1282万平方米.
  (2)2007年底的住房面积为[1200(1+5%)-20]万平方米,
     2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,
     2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3-20(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,
     …………
     2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米
     即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20
     
     ≈2522.64(万平方米),
     ∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.

高考题萃
  1.(2008四川)设数列的前项和为.
  (Ⅰ)求
  (Ⅱ)证明:是等比数列;
  (Ⅲ)求的通项公式.

  解析:
  (Ⅰ)因为
     ∴
     由,得  ①
     所以
     
     ∴
  (Ⅱ)由题设和①式知
     所以是首项为2,公比为2的等比数列.
  (Ⅲ)

  2.(2008全国II)设数列的前项和为.已知
  (Ⅰ)设,求数列的通项公式;
  (Ⅱ)若,求的取值范围.

  解析:
  (Ⅰ)依题意,,即
     由此得
     因此,所求通项公式为.①
  (Ⅱ)由①知
     于是,当时,
     
     
     当时,
     又
     综上,所求的的取值范围是

  3.(2008天津)已知数列中,,且
  (Ⅰ)设,证明是等比数列;
  (Ⅱ)求数列的通项公式;
  (Ⅲ)若的等差中项,求的值,并证明:对任意的的等差中项.

  解析:
  (Ⅰ)由题设,得
     即
     又
     所以是首项为1,公比为的等比数列.
  (Ⅱ)由(Ⅰ),,……,
     将以上各式相加,得
     所以当时,
     上式对显然成立.
  (Ⅲ)由(Ⅱ),当时,显然不是的等差中项,故
     由可得
     由   ①
     整理得
     解得(舍去),于是
     另一方面,
     
     由①可得
     所以对任意的的等差中项.

  4.(2008陕西)已知数列的首项
  (Ⅰ)求的通项公式;
  (Ⅱ)证明:对任意的
  (Ⅲ)证明:

 

  解析:
  (Ⅰ)
     又是以为首项,为公比的等比数列.
     
  (Ⅱ)由(Ⅰ)知
     
     
     原不等式成立.
  另解:
     则
     时,;当时,
     时,取得最大值
     原不等式成立.
  (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的,有
     
     
     ,则
     
     原不等式成立.

  学习成果测评
基础达标:
  1.若数列中,(n是正整数),则数列的通项=____.

  2.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是____________.

  3. 设是等比数列,是等差数列,且,数列的前三项依次是
    且,则数列的前10项和为____________.

  4. 如果函数满足:对于任意的实数,都有,且,则
    ____________

  5.已知数列中,, (),求通项公式.

  6.已知数列中,,求的通项公式.

  7.已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,求的通项公式.

  8.设数列满足
  (Ⅰ)求数列的通项;
  (Ⅱ)设,求数列的前项和

能力提升:
  9.数列的前项和为
  (Ⅰ)求数列的通项
  (Ⅱ)求数列的前项和

  10.数列的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列,试比较的大小关系.

  11.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为,以后每年交纳的数目均比上一年增加,因此,历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为,那么,在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变为,…….以表示到第年末所累计的储备金总额.
  (Ⅰ)写出的递推关系式;
  (Ⅱ)求证:,其中是一个等比数列,是一个等差数列.

  12.2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%,从2008年开始,计划每年将非绿化面积的8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2%被非绿化.
  (1)设该县的总面积为1,2007年底绿化面积为,经过n年后绿化的面积为,试用表示
  (2)求数列的第n+1项
  (3)至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)

综合探究:
  13.已知函数,设曲线在点处的切线与x轴的交点为,其中为正实数.
  (Ⅰ)用表示
  (Ⅱ)若,记,证明数列成等比数列,并求数列的通项公式;
  (Ⅲ)若是数列的前n项和,证明.

参考答案:
基础达标:
  1.
  答案:
  解析:由题设的递推公式可得
      
      ∴  即,
  2.
  答案:2n+1-2
  解析:
      曲线在x=2处的切线的斜率为,切点为(2,-2n),
      所以切线方程为y+2n=k(x-2),
     令x=0得,令.
      数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2
  3. 答案:978
  4. 答案:
  5.
  解析:
将递推关系整理为
      两边同除以
      当时,
      ,……,
      将上面个式子相加得到:
      ,即
      ∴).
      当时,符合上式
      故.
  6.
  解析:由题设
     
        
        
        ∴
      所以数列是首项为,公比为的等比数列,
      ∴
      即的通项公式为
  7.
  解析:,解得
      由假设,因此
      又由
      得,即
      因,故不成立,舍去.
      因此,从而是公差为,首项为的等差数列,
      故的通项为
  8.
  解析:
  (Ⅰ),          ①
      ∴当时,   ②
      ①-②得
      在①中,令,得符合上式
      ∴
  (Ⅱ),∴
      ,    ③
      .   ④
      ④-③得
      即

能力提升:
  9.
  解析:
  (Ⅰ)
      又
      数列是首项为,公比为的等比数列,
      ∴
      当时,
      
  (Ⅱ)
      当时,
      当时,
      , …………①
      ,…………②
      得:
      
        
      
      又也满足上式,
      
  10.
  解析:为各项为正数的等比数列,设其首项为,公比为,
      则有,(),
         ∴,即
     (1)当时,,
         而,
        ∴
             
       ∴时,.
     (2)当时,,
        ∴
        
        ①当时,, ∴
        ②当时,,  ∴
        ③当时,,∴
        综上,(1)在时恒有
           (2)在时,①若
             ②若
             ③若.
  11.
  解析:
  (Ⅰ)
  (Ⅱ)
      对反复使用上述关系式,得
      
       ,        ①
      在①式两端同乘,得
          ②
      ②①,得
           
      即
      如果记,则
      其中是以为首项,以为公比的等比数列;
      是以为首项,为公差的等差数列.
  12.
  解析:
  (1)设2007年底非绿化面积为b1,经过n年后非绿化面积为.
     于是a1+b1=1,
     依题意,是由两部分组成:
     一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积
     另一部分是新绿化的面积
     ∴.
  (2).
     数列是公比为,首项的等比数列.
     ∴.
  (3)由,得
     
     ∴至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60%.

综合探究:
  13.
  解析:
  (Ⅰ)由题可得
      所以曲线在点处的切线方程是:
     即
     令,得,即
     显然,∴
  (Ⅱ)由,知
     同理
     故
     从而,即
     所以,数列成等比数列.
     故,即
     从而,所以
  (Ⅲ)由(Ⅱ)知,∴
     ∴
     当时,显然
     当时,
     ∴
      综上,
 
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