本周目标:建立函数的知识、方法及易错点体系
本周重点:函数的知识、方法及易错点
本周内容: 一、集合与映射 1.集合符号的正确使用:关注空集!
例 1、已知A={0,1},B={x∣x∈A},C={x∣x

A},则A与B的关系是
A=B ,A与C的关系是

,B与C的关系是
例2、已知:①


,②2000

,③


,
④


. 正确式子的个数为( D )
A、1 B、2 C、3 D、4
2.集合运算与关系:注意数形结合!关注元素的形式!
例3、已知:



则A∩B=

, A∩C=

, A∩

=

。
例4、I={(x,y)∣x∈R, y∈R},A={(x,y) ∣y = 2x+3},B={(x,y) ∣

},
则A∩

=

.
3.文氏图的应用
4.求参数范围:定集合!数形结合!注意:验端点,想空集!
例5、设A={x∣x
2-3x+2<0},B={y∣y = a - x
2},若A∩B=φ,则a 的取值范围是

,若A∩B≠φ,则a 的取值范围是

,若A

B,则a 的取值范围是

.
5.子集个数问题:乘法原理

!关注要求非空或真子集!
例6、

,其中

含

个元素,

含

个元素(

),则满足条件的

的个数为__________.
6.映射:关注映射的有关概念!
例7、若集合

,集合

,

是从

到

的映射,

, 则

中元素

的原象为

.
二、函数的性质(定义域、法则即解析式、值域(含最值)、单调性、奇偶性、周期性、反函数) 1. 定义域:由定义域求参数范围正面求!注意定型!复合函数定义域关注谁是自变
例8、若函数

的定义域为

,则实数

的取值范围是( B )
(A)

(B)

(C)

(D)
例9、已知函数

的定义域为(0,3),则

的定义域为

;若

的定义域为(0,3),则

的定义域为

;
2. 求解析式
(1)换元法:
(2)待定系数法:知函数形式
(3)图象变换法:关注变化方式!关注方向单位!
(4)性质(奇偶性周期性等):关注特殊点!
(5)轨迹法(如相关点代入法等)
例10、把函数

的图象沿

轴向左平移一个单位后,得到图象C,则C关于原点对称的图象的解析式为
函数性质2:已知函数

是定义在R上的奇函数,当

时

,则

=
3.求值域:关注定义域!
(1) 先看是否单调函数
(2) 常见非单调函数(在有限区间上)求值域(反比例、二次、三角等)
(3) 换元转化为(2):关注新元范围!
(4) 平均不等式
(5) 几何法:和直线斜率、截距、和熟悉曲线联系!
(6) 其他
关注复合函数值域的求法!
例11、已知数列

的通项

,则数列

的前30项中,则最大值项是第
10 项
例12、在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得

次测量分别得到:

共

个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”

是这样一个量:与其它近似值比较,

与各数据的差的平方和最小。依此规定,从

推出

=
关注由值域求参数范围:正面求!理解正确!
例13、已知函数f(x)=lg(x
2-ax+a)的值域为R,则实数

的取值范围为

;
4.单调性:定义法!问哪从哪证!关注函数方程的结构及已知条件!关注定义域!
例14、设函数f(x)=lg(x
2+ax-a-1),给出下述命题:
①f(x)有最小值
②当a=0时,f(x)的值域为R
③当a>0时,f(x)在区间[2, +∞)上有反函数
④若f(x)在区间[2, +∞]上单调递增,则实数a的取值范围是a≥-4.
则其中正确的命题是
(2)、(3)。(要求:把正确命题的序号都填上)
5.奇偶性:关注定义域!
判定:先看定义域(如判断函数

的奇偶性:奇)
判定方法:用定义;代入数验证+“

”;图像
例15、函数

中 ,
h(x) 是奇函数,

是偶函数.
6.周期性:与奇偶性、对称性结合;关注概念及图象!
例16、函数

为偶函数,且对任意

,都有

,求证:函数

为周期函数;(注:画图分析周期,然后用定义证明)
例17、已知函数

的周期为T,则

的周期为

.
例18、f(x)是定义在R上的偶函数,并满足 f(x+2)=

当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(5.5)=( B )
(A)5.5 (B)2.5 (C)-2.5 (D)-5.5
7.反函数:必须先求原函数值域;关注原函数的定义域!关注性质!
例19、函数

的反函数是( C )
8.性质的运用:关注各种性质的准确理解!
例20、若偶函数

在

上是增函数,则( D )。
A、

B、
C、

D、
三、具体函数(一次、二次*、幂指对、三角) 关注:图像与性质;定义域的作用;单调性的作用;
特别关注二次(一定一动:看开口、对称轴)
关注实根分布:数形结合!看开口、对称轴、Δ、区间端点符号;
例21、

的定义域为D,如果对任意的

,存在唯一的

(C为常数)成立,则称函数

在D上的均值为C。给出下列四个函数:

则均值为2的函数为
(3) 例22、已知f(x)= x

+4x+3,函数g(t)表示函数f(x)在区间[t,t+1] ,( t∈R)上的最小值,则g(t)=

.
四、图象及图象变换 关注:图象(复合)变换:一定要写出中间变换过程(两个);关注两个变换是有序还是无序;关注变换的方向和单位;
关注:看图识图及图象在解方程、不等式及求参数范围中的运用;关注特殊点;求参数时验端点!
例23、函数
y=f(
x)和函数
y=g(
x)的图象如下图所示,则
y=f(
x)·
g(
x)的图象可能是( A )

例24、设
是定义在R上的奇函数,且在(0,+
)上是增函数。又f(-3)=0,,则xf(x)≥0的解是
。
例25、设x∈(1,2),则不等式
恒成立时,
的取值范围是
五、方程与不等式:关注等价!单调时底的影响!要有数形结合的意识!
六、恒成立问题:转化为函数最值问题!选好变量:谁变选谁!
例26、对于-1≤a≤1,不等式x2+(a-2)x+1-a>0恒成立的x的取值范围是( B )。
(A)
(B)
(C)
(D)
七、函数大题
坚持从基本概念出发,注意寻找条件与结论间的关系,挖掘隐含条件。
例27、设二次函数
,已知不论
为何实数值,恒有
。(1)求证:
;(2)求证:
;(3)若函数
的最大值为8,求b、c的值。
证明:b+c=-1即证b+c+1=0,即证f(1)=0.
(1)∵ 不论α、β为何实数,恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0,
∴ 当
时,f(1)≥0, β=π时,f(1)≤0, ∴ f(1)=0, ∴ b+c+1=0, ∴ b+c=-1.
证明:(2)∵ b+c=-1, ∴ b=-c-1, ∴ f(x)=x2-(c+1)x+c,
又∵ 对任意β恒有f(2+cosβ)≤0, ∴ β=0时,f(3)≤0.
即9-3c-3+c≤0, ∴ 2c≥6, ∴ c≥3.
解:(3)∵ f(sinα)=sin2α-(c+1)sinα+c, 令t=sinα, 则f(t)=t2-(c+1)t+c,
由已知:f(t)在[-1,1]上的最大值为8,又∵ c≥3, ∴ t对=
,
∴ f(t)在[-1,1]上为减函数,∴ 8=f(-1)=2c+2
c=3, 又b+c=-1, ∴ b=-4.
本周练习:
1.已知
,求实数
的取值范围;
(答案:
)
2.给定映射
,点
的原象是________;
(答案:
)
3.已知函数
满足
,则
________
(答案:
)
4.已知对任意
有
,则函数
的周期为 ________
(答案:
)
5.已知
,则
=________
(答案:1)
6.函数
的最大值是
,求实数
的取值范围
(答案:
)
7.实数
为何值时
为奇函数?
(答案:
)
8.函数
的反函数
________
(答案:
)
9.函数
的单调递增区间为________
(答案:画图象:
)
10.已知函数
是R上的偶函数,且
是R上的奇函数,且对任意
都有
,则
= ________
(答案:
=
)
11.已知函数
的定义域为R,集合
,
,则集合M、N的关系为________
(答案:小推大
)
12.若集合M、N满足
,则称(M,N)为集合A的一种分拆,并且规定当且仅当M=N时,
(M,N)与(N,M)为集合A的同一种分拆。则集合A=
的不同分拆数为________
(答案:27)
13.设集合
,
,若
,则实数
_______
(答案:
)
14.集合
,且集合A的元素中至少有一个奇数,则这样的集合A共有________个
(答案:11)
15.在正实数集上定义一种运算*:当
。根据这个定义,3*x=27中的x的值为________
(答案:3或
)
16. 函数 
(答案:
)
17.
,则
在定义域上的单调性与奇偶性为________
(答案:奇、增)
18.
是增函数,且
若
的反函数的定义域为
,则
的定义域为________
(答案:
)
19.函数
及
,定义函数
为:当
时,
=
;当
时,
=
;则
的最大值为________
(答案:2)
20.函数
的定义域为R,且
,已知
为奇函数,当
时,
,那么当
时
的递减区间是________
(答案:
)
21.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b)。
(1)求f(0);
(2)求证:对任意x∈RR,有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是增函数;
(4)若f(x)f(2x-x2)>1,求x的取值范围。
答案:(1)f(0+0)=f2(0),又f(0)≠0, ∴ f(0)=1.
(2) x>0时,f(x)>1>0
x=0时,f(x)=1>0
x<0时,-x>0且f(x-x)=f(x)·f(-x), 其中f(-x)>0, f(0)>0, ∴
,
∴ 任意x∈R, f(x)>0.
(3) 对任意 -∞<x1<x2<+∞, 有x2=x1+(x2-x1), x2-x1>0
∴ f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)-f(x1)f(x2-x1)=f(x1)·[1-f(x2-x1)]
∵ x2-x1>0, ∴ f(x2-x1)>1, ∴ 1-f(x2-x1)<0
又f(x1)>0
∴ f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x1)<f(x2), ∴ f(x)在R上是增函数。
(4) ∵ f(x)f(2x-x2)=f(3x-x2)
f(0)=1
∴ f(x)f(2x-x2)>1, 即f(3x-x2)>f(0)
∵ f(x)在R上增,∴ 即3x-x2>0
解之有 0<x<3 .