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三角形的费马点

发布人:admin | 来自:思而学教育网 |  发布时间:2011-11-20 23:06:58  |  点击次数:993
  三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小值的点叫费马点,为什么这么叫,请看如下:

费马(Pierre De Fermat )是法国数学家,1601817日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙··洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为费马点”.

引例:有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?将此问题用数学模型抽象出来即为:

△ ABC中确定一点P,使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下:分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点,则该点
即为所求P点。
证明:如下图所示。连结PAPBPC,△ABE△ACD中,AB=AD AE=AC BAE=BAC+60°
DAC=BAC+60°=BAE ∴△ABE全等△ACD
ABE=ADC 从而ADBP四点共圆
∴∠APB=120°
APD=ABD=60°

同理:APC=BPC=120°

P为圆心,PA为半径作圆交PDF点,连结AF

A为轴心将△ABP顺时针旋转60°,已证APD=60°
       ∴△APF为正三角形。不难发现△ABP△ADF重合。

BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD

另在△ABC中任取一异于P的点G ,同样连结GAGBGCGD,以B为轴心

△ABG逆时针旋转60°,记G点旋转到M.

△ABG△BDM重合,且M线DGDG外。

GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC

从而CD为最短的线段。

以上是简单的费马点问题,将此问题外推到四点,可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。

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